Colloquium des doctorants du DMA

Le colloquium a lieu un lundi sur deux (approximativement) en salle W à 16h.

Lundi 06/10 : Owen Sabatin. Fonction zêta de Selberg et théorie spectrale du laplacien
On s’intéresse à la géométrie d’une surface S hyperbolique de genre g avec n pointes, uniformisée par le disque de Poincaré. La surface est munie d’une métrique hyperbolique à courbure négative, et on peut chercher à étudier les longueurs l(γ) des géodésiques fermées γ. On a alors un analogue à la fonction zêta de Riemann, appelée fonction zêta de Selberg, définie à partir des longueurs des géodésiques, qui est holomorphe sur un demi-plan {s|ℜ(s) > k}. Elle peut s’étendre analytiquement à tout le plan complexe et satisfait une équation fonctionnelle similaire à celle de Riemann. La fonction de Selberg est reliée à la théorie spectrale du Laplacien hyperbolique de S. On s’intéressera au comportement de cette fonction lorsque que l’on déforme S en tant que surface de Riemann. Lorsque la déformation dégénère, i.e. lorsque que l’on créer un ou plusieurs points ordinaires doubles, le comportement spectral du Laplacien de S pour les petites valeur propres peut alors être relié à la combinatoire de la dégénérescence de S. L’étude de la valeur spécifique ζ′S (1) est assez singulière et intervient notamment en théorie des cordes, en générale celle-ci n’est pas calculable. On peut en fait essayer de la calculer lorsque S est muni d’une structure arithmétique supplémentaire, par exemple pour une courbe modulaire.

Jeudi 29/05 : Brune Massoulié. Systèmes de particules et fonctions de hauteur
Les systèmes de particules en interaction sont des modèles pour des phénomènes physiques où des particules évoluent selon certaines règles, en faisant un choix aléatoire à chaque pas de temps (il s’agit d’une chaîne de Markov). Dans certains cas, le système converge vers un équilibre (appelé mesure invariante) en temps long, et on appelle temps de mélange le temps nécessaire pour devenir « proche » de cet équilibre. Dans cet exposé, nous étudierons certains systèmes de particules, et une méthode pour majorer le temps de mélange, qui consiste à construire un couplage avec la mesure invariante, c’est-à-dire faire évoluer conjointement le système partant d’une condition initiale quelconque et le système partant de l’équilibre pour contrôler quand ils se rejoignent. Nous verrons en particulier comment des nouvelles représentations du système permettent de construire de tels couplages, avec l’exemple des fonctions de hauteur.

Jeudi 17/04 : Louise Nataf. La conjecture des dénominateurs non-bornés
Dans cet exposé, je parlerai de la conjecture des dénominateurs non bornés ainsi que de ses applications. Je donnerai un aperçu des méthodes mises en place pour la résolution de cette conjecture par Calegari, Dimitrov et Tang.

Jeudi 03/04 : Aksel Bergfeldt. Analyse harmonique sur le groupe de Heisenberg
The Heisenberg group is one of the most simple non-Abelian Lie groups. The Lie algebra components (vector fields) X, Y, Z satisfy [X,Y] = Z. We recognise this relation from quantum mechanics, where the position and momentum operators satisfy this relation, or from signal processing, where it is satisfied by the operations of translating in frequency and translating in time. I have studied the Schrödinger equation formulated on the Heisenberg group, with the help of non-Abelian harmonic analysis. I will give some insight about how this differs from its Euclidean counterpart, and about some of the key techniques and ideas.

Jeudi 27/03 : Tony Salvi. Dynamique des systèmes quantiques à la limite semi-classique
Dans cet exposé, je montrerai comment la mécanique quantique est bien approximée par la physique classique lorsque la constante de Planck est considérée comme étant très petite, c’est-à-dire à la limite semi-classique. En particulier, nous passerons en revue les concepts de base de la mécanique quantique ainsi que quelques résultats mathématiques standards sur les limites semi-classiques et j’en donnerai des interprétations.

Jeudi 6/03 : Alexis Metz-Donnadieu. Une introduction à la géométrie brownienne
Considérons une marche aléatoire (S_n)_n sur R dont les incréments sont des variables indépendantes de loi mu centrée, de variance finie. Indépendamment du choix de mu, les trajectoires de S convergent systématiquement lorsqu’on les renormalise vers la même trajectoire aléatoire : le mouvement brownien (c’est l’objet du fameux théorème de Donsker). En ce sens, le mouvement brownien est donc une limite d’échelle universelle d’une très large classe de modèles discrets de trajectoires aléatoires. De manière remarquable, un phénomène analogue existe pour d’autres classes de modèles discrets. Par exemple, de nombreux arbres plans aléatoires convergent après renormalisation (dans un sens que l’on précisera) vers le même arbre aléatoire « continu »: l’arbre brownien. La géométrie brownienne est le domaine des probabilités étudiant ces limites d’échelles « universelles » de modèles géométriques aléatoires discrets. Notre objectif dans cet exposé est de donner une introduction accessible à ce champ d’étude. Nous y présenterons en particulier deux objets emblématiques de ce domaine : l’arbre brownien et les surfaces browniennes. Ce sont deux modèles d’espaces métriques aléatoires, respectivement limites de modèles d’arbres plans aléatoires et de graphes planaires aléatoires.

Jeudi 13/02 : Thomas Serafini. Monodromie et équations différentielles.
La monodromie d'une famille d'espaces topologique est un objet qui donne des informations sur la déformation des fibres de la famille à homotopie près. J'expliquerai comment elle est, de manière relativement surprenante, reliée de près aux équations différentielles linéaires homogènes à coefficients holomorphes.

Mercredi 29/01 : Paul Wang. Théorie catégorique des systèmes.
Qu'est-ce qu'un système ? Dans quelle mesure est-il possible d'étudier un système en le décomposant en sous-systèmes ? La théorie catégorique des systèmes, que j'illustrerai (sans utiliser de notions techniques !) avec l'exemple des systèmes déterministes à temps discret, vise à fournir des réponses à ces questions.