Colloquium des doctorants du DMA

Le colloquium a lieu un lundi sur deux (approximativement) en salle W à 17h.

Organisateurs : Louise Nataf et Alexandre Bertolino.

• Lundi 12/10 : Naïl Bouberbachene. Théorie de Morse, pantalons et jupes.
  Lorsque l'on tient un pantalon droit, on observe qu'il possède un trou en haut et deux en bas. Le bord supérieur du pantalon est donc un cercle tandis que le bord inférieur est composé de deux cercles : les deux bords sont différents. En imposant que les deux bords soient simplement connexes on obtient une jupe (qui n'est rien d'autre qu'un cylindre). Tous les pantalons de dimension au moins 6 ayant 2 bords connexes sont en fait des jupes. Dans cet exposé j'introduirai plusieurs outils de la théorie de Morse (points critiques, lemme de Morse, fonctions de Morse) et je définirai alors l'homologie de Morse. J'énoncerai ensuite comme application le théorème de h-cobordisme qui formalise mon affirmation sur les pantalons de grande dimension et donnerai selon le temps restant les idées de la preuve.

• Lundi 28/09 : Louis Mallet-Burgues. Équations diophantiennes et cohomologie galoisienne.
  Le point de départ de cet exposé est d'expliquer comment classifier les surcorps non-commutatifs d'un corps K (par exemple, R a un surcorps non-commutatif donné par le corps des quaternions H, qui est de dimension 4 sur R). L'idée clé derrière cette classification est la notion de “descente galoisienne” : informellement, elle consiste à dire que les objets définis sur un corps K viennent d'objets définis sur la clôture algébrique de K qui sont munis d'une action d'un certain groupe qu'on appelle le groupe de Galois absolu de K. La classification de tels objets fait naturellement intervenir des groupes de cohomologie associés à ce groupe de Galois absolu, appelés groupes de cohomologie galoisienne. Ces groupes sont intimement liés aux propriétés diophantiennes du corps K : si certaines équations homogènes sur K avec beaucoup de variables ont des solutions, alors ces groupes de cohomologie ont tendance à s'annuler à partir d'un certain degré. Pour rendre compte de ce phénomène, Lang a introduit la notion de corps C_i et a conjecturé que les corps C_i avaient une cohomologie triviale en degré > i. Cette conjecture est ouverte pour i>2 et on sait que sa réciproque est fausse. Si le temps le permet, je parlerai des conjectures de Kato et Kuzumaki qui raffinent la propriété C_i pour tenter d'avoir une condition diophantienne qui caractérise l'annulation de la cohomologie du corps en degré >i.

• Lundi 14/09 : Valentin Pesce. Autour de la localisation des racines d’un polynôme après dérivation.
  Dans cet exposé nous étudierons plusieurs questions autour du problème de la localisation des racines d’un polynôme dérivé par rapport aux racines de ce polynôme. Tout d’abord nous rappellerons quelques résultats déterministes classiques autour de ce problème. Puis nous étudierons ce problème sous un angle probabiliste en nous demandant où se situent les racines du polynôme dérivé lorsque les racines du polynôme initial ont été tirées de manière indépendante et identiquement distribuée dans le plan complexe. Pour finir, nous étudierons ce problème sous un angle d’analyse en expliquant comment ce dernier peut mener à l’étude d’une équation aux dérivées partielles non linéaire et non locale obtenue après passage à une limite champ moyen.

• Lundi 20/04 : Gaspard Gomez. Trois exemples élémentaires de renormalisation.
  La renormalisation est un concept flou, qui provient de la physique théorique et qui est aujourd'hui abondamment étudié en mathématiques. La renormalisation peut être déroutante: il peut par exemple s'agir de retirer des quantités infinies dans des équations pour qu'elles soient bien posées. N'étant pas un spécialiste de la question, je ne vous présenterai pas une approche générale mais plutôt trois exemples très élémentaires, qui je l'espère, vous rendront familier de ce concept et surtout le démystifieront. Le premier est déterministe, il s'agit de la distribution valeur principale. Le second est probabiliste : ce sont les processus stables qui généralisent le mouvement brownien. Selon le temps, je vous parlerai ensuite d'un troisième exemple: l'équation de la chaleur stochastique avec bruit multiplicatif.

• Mercredi 08/04 (Attention, changement d'horaire : 9h30-10h30) : Valentin Massicot. Brisures de symétrie, distributions et double quotients
  Soit G′ ⊂ G une paire de groupes et (V, π) une représentation de G. Les problèmes de branchements consistent à étudier le comportement de la restriction π|G′ de π à G′. Dans le cas où V est un espace de Hilbert, π est unitaire et G, G′ sont localement compacts (par exemple des groupes de Lie), un théorème de Mautner implique que π|G′ se décompose (de manière unique si G′ est de type I) en intégrale directe de représentations irréductibles de G′. Lorsque π n’est pas unitaire (par exemple si π est une représentation lisse d’un groupe de Lie), une telle décomposition en irréductibles n’existe pas. Dans ce contexte plus général, l’étude de π|G′ peut se faire à travers les espaces d’opérateurs de brisure de symétrie, c'est-à-dire les espaces Hom_G′(π, τ) où τ parcourt une classe appropriée de représentations de G. Dans le cas où G et G′ sont des groupes de Lie réductifs réels (par exemple (G, G′) = (GL(n+1, R), GL(n, R))), une classe de représentations raisonnable de G et G′ est donnée par les représentations de leur série principale, représentations obtenues par induction parabolique et donc géométriquement à partir de fibrés vectoriels homogènes. Dans cet exposé, nous verrons à travers des exemples comment et pourquoi les distributions, couplées à un certain double quotient, fournissent un angle d’attaque redoutable pour l’étude des problèmes de branchement des groupes de Lie réductifs réels.

• Lundi 23/03 : Nathan de Montgolfier. Chemins imprévisibles et applications en mécanique statistique
  Considérons le jeu suivant entre Antigone et Bérénice. Dans un premier temps, Antigone choisit une loi de probabilités sur les marches aux plus proches voisins sur Z et communique son choix à Bérénice. Antigone choisit également les n premiers pas d'une trajectoire possible selon cette loi et les communique à Bérénice. Le but de Bérénice est alors de deviner la position exacte de la marche à l'instant n+k pour un entier k grand. Si Antigone avait choisi la marche aléatoire simple, la position au temps n+k s'étalerait sur une fenêtre typique de taille sqrt(k) donnant une probabilité de l'ordre de 1/sqrt(k) à Bérénice de gagner. Mais Antigone peut-elle concevoir une loi beaucoup plus « trompeuse » pour minimiser les chances de Bérénice ? La théorie des chemins imprévisibles, initiée par Benjamini, Pemantle et Peres, et développée par Häggström et Mossel à la fin des années 1990, apporte une réponse positive à cette question. En choisissant bien la loi, Antigone peut garantir que la probabilité de succès de Bérénice ne dépasse jamais 1/k^a pour n'importe quel a < 1. Je présenterai une des constructions d'Häggström et Mossel des chemins imprévisibles et une application récente de cette technique à l'étude de transitions de phases de modèles de mécanique statistique sur des réseaux.

• Lundi 09/03 : Sylvain Chabredier. Voyage dans les méandres microscopiques de certains processus ponctuels
  Trouver les racines d’un polynôme fixé est une vieille et difficile question. Posons nous alors la question pour un polynôme aléatoire avec des coefficients gaussiens iid: qu’est-il possible d’affirmer sur les statistiques de leurs zéros ? On verra que lorsque le degré N du polynôme est grand, le comportement local de ces points peut être comparé à un modèle de physique statistique de N particules chargées positivement (c’est à dire un gaz de Coulomb). Nous explorerons les théorèmes qui sont établis pour ce gaz et les conjectures associées pour les zéros du précédent polynôme aléatoire.

• Lundi 09/02 : Dorra Hamza. Introduction à la théorie des nœuds à travers le polynôme de Jones et l’homologie de Khovanov
  En 2000, Mikhail Khovanov a initié ce que l’on appelle parfois la seconde révolution dans l’étude des invariants de nœuds, la première étant l’introduction du polynôme de Jones à la fin des années 80s. Le but de cet exposé est d’introduire la théorie des nœuds : ce que signifie être un invariant de nœuds, pourquoi ces objets sont importants, et comment on peut les construire. Nous expliquerons ensuite le principe de catégorisation d’un invariant, en prenant comme exemple l’homologie de Khovanov, qui raffine le polynôme de Jones. Si le temps le permet, nous évoquerons également quelques problèmes de recherche contemporains liés à ces invariants.

• Lundi 26/01 : Alexis Metz-Donnadieu. Probabilité et combinatoire du profil vertical des arbres étiquetés
  Les modèles d’arbres plans étiquetés (c’est à dire des arbres plans finis dont les sommets portent des étiquettes entières) et plus généralement les modèles de processus de branchement spatiaux sont aujourd’hui devenus incontournables en probabilité et en combinatoire (marche aléatoires branchantes, superprocessus, modèles de particules…). Un enjeu important pour étudier ces arbres étiquetés est de comprendre le profil vertical qui correspond au processus comptant pour chaque entier k le nombre de sommets d’étiquette k. Il correspond grosso modo à la mesure d’occupation du processus branchant encodé par l’arbre. Nous nous proposons de faire un petit tour d’horizon non exhaustif de résultats anciens et nouveaux concernant les propriétés probabilistes du profil vertical (limite d’échelle, propriété de Markov, dénombrement…).

• Lundi 12/01 : Rémi Guénet. Cycles limites et géométrie o-minimale
  Les cycles limites d'un champ de vecteurs planaire sont les lieux auxquels le champ de vecteur change de comportement topologique. Ainsi, le nombre de ces cycles limites peut être vu comme une mesure de la complexité topologique du champ de vecteurs en question. Étant donné une famille de champs de vecteurs, on peut alors se demander s'il existe une borne uniforme pour le nombre de leurs cycles limites. En particulier, la seconde partie du 16ème problème de Hilbert demande de traiter le cas des familles de champs de vecteurs polynomiaux de degré borné. Dans cet exposé, on s'intéressera au lien entre ce type de questions et la géométrie o-minimale, qui peut être pensé comme une généralisation de la géométrie analytique réelle.

• Lundi 08/12 : Maël Laoufi. Identification partielle dans les modèles logit et problème des moments
  Le modèle logit est un modèle relativement standard en statistiques, qui permet d’estimer le rôle que jouent des caractéristiques observables dans la réalisation d’une variable binaire (achat de biens, emploi/chômage …). Une variante de ce modèle intègre des effets fixes individuels, modélisant une propension individuelle aléatoire, plus ou moins forte, pour l’une ou l’autre des options possibles du choix binaire. En présence des ces effets fixes individuels, l’effet moyen d’une variable sur la réalisation de la variable d’intérêt binaire ne peut plus être parfaitement estimé. Dans cette présentation, nous verrons qu’il est néanmoins possible d’estimer l’intervalle des valeurs possibles de ce paramètre, un exemple d’identification partielle en statistiques. La technique d’estimation repose sur le problème des moments : étant donnés les T premiers moments d’une variable aléatoire à valeurs dans [0, 1], quelles sont les valeurs possibles de son (T + 1)-ième moment ?

• Lundi 17/11 : Samuel Lerbet. Comment comprendre les modules projectifs ?
  La théorie des modules projectifs est souvent abordée sous l'angle de l'algèbre homologique, pour les buts de laquelle la connaissance de quelques propriétés formelles de ces objets est souvent suffisante pour travailler. Pourtant, ils ont également une interprétation géométrique : un module projectif (de type fini) sur un anneau consiste essentiellement en la donnée d'un fibré vectoriel sur l'objet géométrique que la géométrie algébrique associe à cet anneau. De ce point de vue, plusieurs questions naturelles, inspirées par la topologie, se manifestent : à quelle condition un module projectif a-t-il « une section continue qui ne s'annule pas » ? La collection des modules projectifs sur un anneau est-elle « invariante par homotopie » en un sens convenable ? Peut-on arranger la collection des fibrés vectoriels en un groupe abélien, comme on le fait en K-théorie topologique ? Dans cet exposé, nous verrons une manière (à laquelle l'orateur est partial) de donner un sens précis à la question posée par le titre, et nous expliquerons quelques résultats dont on dispose pour y répondre.

• Lundi 20/10 : Florent Fougères. Aspects statistiques du théorème de Lanford
  En théorie cinétique, le théorème de Lanford est une étape cruciale pour obtenir les équations de la mécanique des fluides à partir des équations microscopiques des gaz, comme suggéré par le 6ème des problèmes de Hilbert pour le siècle dernier. Ce théorème consiste à utiliser une échelle mésoscopique intermédiaire, et à dériver l'équation de Boltzmann dans cette limite d'échelle. Récemment, un papier conséquent a exposé des méthodes très fines pour résoudre partiallement ce problème en temps long, suscitant un regain d'intérêt pour ce domaine. Dans cet exposé, on s'intéressera surtout aux modèles utilisés en expliquant les difficultés qu'ils font apparaître, ainsi qu'aux aspects statistiques de cette dérivation - notamment dans un cadre linéaire menant à l'équation de Rayleigh–Boltzmann pour laquelle la dérivation complète du microscopique au macroscopique a pu être prouvée.

• Lundi 06/10 : Owen Sabatin. Fonction zêta de Selberg et théorie spectrale du laplacien
  On s’intéresse à la géométrie d’une surface S hyperbolique de genre g avec n pointes, uniformisée par le disque de Poincaré. La surface est munie d’une métrique hyperbolique à courbure négative, et on peut chercher à étudier les longueurs l(γ) des géodésiques fermées γ. On a alors un analogue à la fonction zêta de Riemann, appelée fonction zêta de Selberg, définie à partir des longueurs des géodésiques, qui est holomorphe sur un demi-plan {s|ℜ(s) > k}. Elle peut s’étendre analytiquement à tout le plan complexe et satisfait une équation fonctionnelle similaire à celle de Riemann. La fonction de Selberg est reliée à la théorie spectrale du Laplacien hyperbolique de S. On s’intéressera au comportement de cette fonction lorsque que l’on déforme S en tant que surface de Riemann. Lorsque la déformation dégénère, i.e. lorsque que l’on créer un ou plusieurs points ordinaires doubles, le comportement spectral du Laplacien de S pour les petites valeur propres peut alors être relié à la combinatoire de la dégénérescence de S. L’étude de la valeur spécifique ζ′S (1) est assez singulière et intervient notamment en théorie des cordes, en générale celle-ci n’est pas calculable. On peut en fait essayer de la calculer lorsque S est muni d’une structure arithmétique supplémentaire, par exemple pour une courbe modulaire.

• Jeudi 29/05 : Brune Massoulié. Systèmes de particules et fonctions de hauteur
  Les systèmes de particules en interaction sont des modèles pour des phénomènes physiques où des particules évoluent selon certaines règles, en faisant un choix aléatoire à chaque pas de temps (il s’agit d’une chaîne de Markov). Dans certains cas, le système converge vers un équilibre (appelé mesure invariante) en temps long, et on appelle temps de mélange le temps nécessaire pour devenir « proche » de cet équilibre. Dans cet exposé, nous étudierons certains systèmes de particules, et une méthode pour majorer le temps de mélange, qui consiste à construire un couplage avec la mesure invariante, c’est-à-dire faire évoluer conjointement le système partant d’une condition initiale quelconque et le système partant de l’équilibre pour contrôler quand ils se rejoignent. Nous verrons en particulier comment des nouvelles représentations du système permettent de construire de tels couplages, avec l’exemple des fonctions de hauteur.

• Jeudi 17/04 : Louise Nataf. La conjecture des dénominateurs non-bornés
  Dans cet exposé, je parlerai de la conjecture des dénominateurs non bornés ainsi que de ses applications. Je donnerai un aperçu des méthodes mises en place pour la résolution de cette conjecture par Calegari, Dimitrov et Tang.

• Jeudi 03/04 : Aksel Bergfeldt. Analyse harmonique sur le groupe de Heisenberg
  The Heisenberg group is one of the most simple non-Abelian Lie groups. The Lie algebra components (vector fields) X, Y, Z satisfy [X,Y] = Z. We recognise this relation from quantum mechanics, where the position and momentum operators satisfy this relation, or from signal processing, where it is satisfied by the operations of translating in frequency and translating in time. I have studied the Schrödinger equation formulated on the Heisenberg group, with the help of non-Abelian harmonic analysis. I will give some insight about how this differs from its Euclidean counterpart, and about some of the key techniques and ideas.

• Jeudi 27/03 : Tony Salvi. Dynamique des systèmes quantiques à la limite semi-classique
  Dans cet exposé, je montrerai comment la mécanique quantique est bien approximée par la physique classique lorsque la constante de Planck est considérée comme étant très petite, c’est-à-dire à la limite semi-classique. En particulier, nous passerons en revue les concepts de base de la mécanique quantique ainsi que quelques résultats mathématiques standards sur les limites semi-classiques et j’en donnerai des interprétations.

• Jeudi 6/03 : Alexis Metz-Donnadieu. Une introduction à la géométrie brownienne
  Considérons une marche aléatoire (S_n)_n sur R dont les incréments sont des variables indépendantes de loi mu centrée, de variance finie. Indépendamment du choix de mu, les trajectoires de S convergent systématiquement lorsqu’on les renormalise vers la même trajectoire aléatoire : le mouvement brownien (c’est l’objet du fameux théorème de Donsker). En ce sens, le mouvement brownien est donc une limite d’échelle universelle d’une très large classe de modèles discrets de trajectoires aléatoires. De manière remarquable, un phénomène analogue existe pour d’autres classes de modèles discrets. Par exemple, de nombreux arbres plans aléatoires convergent après renormalisation (dans un sens que l’on précisera) vers le même arbre aléatoire « continu »: l’arbre brownien. La géométrie brownienne est le domaine des probabilités étudiant ces limites d’échelles « universelles » de modèles géométriques aléatoires discrets. Notre objectif dans cet exposé est de donner une introduction accessible à ce champ d’étude. Nous y présenterons en particulier deux objets emblématiques de ce domaine : l’arbre brownien et les surfaces browniennes. Ce sont deux modèles d’espaces métriques aléatoires, respectivement limites de modèles d’arbres plans aléatoires et de graphes planaires aléatoires.

• Jeudi 13/02 : Thomas Serafini. Monodromie et équations différentielles.
  La monodromie d'une famille d'espaces topologique est un objet qui donne des informations sur la déformation des fibres de la famille à homotopie près. J'expliquerai comment elle est, de manière relativement surprenante, reliée de près aux équations différentielles linéaires homogènes à coefficients holomorphes.

• Mercredi 29/01 : Paul Wang. Théorie catégorique des systèmes.
  Qu'est-ce qu'un système ? Dans quelle mesure est-il possible d'étudier un système en le décomposant en sous-systèmes ? La théorie catégorique des systèmes, que j'illustrerai (sans utiliser de notions techniques !) avec l'exemple des systèmes déterministes à temps discret, vise à fournir des réponses à ces questions.